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  2. 九章算术

  昔在庖犠氏始画八卦,以通神明之德,以类万物之情,作九九之数,以合六 爻之变。暨于黄帝神而化之,引而伸之,于是建历纪,协律吕,用稽道原,然后 两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数,其详未之闻也。按周公制礼而有 九数,九数之流,则《九章》是矣。往者暴秦焚书,经术散坏。自时厥后,汉北 平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残,各称删补。故 校其目则与古或异,而所论者多近语也。徽幼习 《九章》,长再详览。观陰陽之 割裂,总算术之根源,探赜之暇,遂悟其意。是以敢竭顽鲁,采其所见,为之作 注。事类相推,各有攸归,故枝条虽分而同本榦知,发其一端而已。又所析理以 辞,解体用图,庶亦约而能周,通而不黩,览之者思过半矣。且算在六艺,古者 以宾兴贤能,教习 国子;虽曰九数,其能穷纤入微,探测无方;至于以法相传, 亦犹规矩度量可得而共,非特难为也。当今好之者寡,故世虽多通才达学,而未 必能综于此耳。《周官·大司徒》职,夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸,谓 之地中。说云,南戴日下万五千里。夫云尔者,以术推之。案:《九章》立四表 望远及因木望山之术,皆端旁互见,无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以 博尽群数也。徽寻九数有重差之名,原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝 深而兼知其远者必用重差、句股,则必以重差为率,故曰重差也。立两表于洛陽 之城,令高八尺,南北各尽平地。同日度其正中之时。以景差为法,表高乘表间 为实,实如法而一。所得加表高,即日去地也。以南表之景乘表间为实,实如法 而一,即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股,为之求弦,即 日去人也。以径寸之筒南望日,日满筒空,则定筒之长短以为股率,以筒径为句 率,日去人之数为大股,大股之句即日径也。虽夫圆穹之象犹曰可度,又况泰山 之高与江 海之广哉。徽以为今之史籍且略举天地之物,考论厥数,载之于志,以 阐世术之美,辄造《重差》,并为注解,以究古人之意,缀于句股之下。度高者 重表,测深者累矩,孤离者三望,离而又旁求者四望。触类而长之,则虽幽遐诡 伏,靡所不入,博物君子,详而览焉。